Кривы́е Безье́ были разработаны в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастельжо из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей.
Несмотря на то, что открытие де Кастельжо было сделано несколько ранее Безье (1959), его исследования не публиковались и скрывались компанией как производственная тайна до конца 1960-х.
Впервые кривые были представлены широкой публике в 1962 году французским инженером Пьером Безье, который, разработав их независимо от де Кастельжо, использовал их для компьютерного проектирования автомобильных кузовов. Кривые были названы именем Безье, а именем де Кастельжо назван разработанный им рекурсивный способ определения кривых (алгоритм де Кастельжо).
Это открытие на сегодня один из важнейших инструментов систем автоматизированного проектирования и программ компьютерной графики
Виды кривых Безье и их реализация
Все кривые Безье определяются порядком, начиная с первого, который фактически есть отрезок прямой линии в векторном исполнении. Наиболее употребляемые в практике кривые Безье имеют порядки 2 и 3, соответственно называемые квадратичными и кубическими кривыми Безье.
Основными свойствами этих кривых считается
- непрерывность заполнения сегмента между начальной и конечной точками;
- кривая всегда располагается внутри фигуры, образованной линиями, соединяющими контрольные точки;
- при наличии только двух контрольных точек сегмент представляет собой прямую линию;
- прямая линия образуется при коллинеарном (на одной прямой) размещении управляющих точек;
- кривая Безье симметрична, то есть обмен местами между начальной и конечной точками (изменение направления траектории) не влияет на форму кривой;
- масштабирование и изменение пропорций кривой Безье не нарушает ее стабильности, так как она с математической точки зрения «аффинно инвариантна»;
- изменение координат хотя бы одной из точек ведет к изменению формы всей кривой Безье;
- степень кривой всегда на одну ступень ниже числа контрольных точек. Например, при трех контрольных точках форма кривой — парабола;
- окружность не может быть описана параметрическим уравнением кривой Безье;
- невозможно создать параллельные кривые Безье, за исключением тривиальных случаев (прямые линии и совпадающие кривые).
Квадратичная кривая Безье (2-порядка), определяется с помощью задания трех точек, по следующей схеме
Здесь с помощи анимации получается эффект представления как строится кривая 2-порядка. Мы видим как прямая линия, скользящая из одной точки в другую, равномерно переносит свое положение на гладкую кривую, в каждый момент являясь для нее касательной .
Квадратичная кривая Безье в составе сплайнов используются для описания формы символов в шрифтах TrueType и в SWF файлах. В SVG-формате так же есть возможность задать квадратичную кривую в виде кисти path через команды следующего вида
M(m) xP0,yP0 Q(q) xP1,yP1 xP2,yP2а так же зеркально-симетричного упрощения, с использованием предедущих значнеий
T(t) xP3,yP3, превращая квадратичную кривую в кубическую
Кубическая кривая Безье (3-порядка), определяется с помощью задания трех точек, по следующей схеме
Мы видим, что сначало строится основа квадратичной кривой, которая в динамики скользит по направляюшим схемы, а затем уже в квадратичном обзоре строится сам кривая Безье 3-порядка. Кубические гладкие кривые
применяются в современных графических системах, таких как PostScript, Metafont и GIMP ввиде сплайнов Безье для представления криволинейных форм. В SVG-формате так же есть возможность задать квадратичную кривую в виде кисти path через команды следующего вида
M(m) xP0,yP0 C(c) xP1,yP1 xP2,yP2 xP3,yP3а так же зеркально-симетричного упрощения, с использованием предедущих значнеий
S(s) xP4,yP4 xP5,yP5, превращая кубическую кривую в кривые более высоких порядков.
